Родился 3(14) января 1733 г. в Москве. Единственный сын барона Сергея Григорьевича Строганова и Софьи Кирилловны Нарышкиной. Получив хорошее домашнее образование, завершил его путешествием за границей: в 1752 - 1757 годах слушал лекции в университетах Женевы, Болоньи и Парижа. В 1758 г. женился на графине Анне Михайловне Воронцовой, единственной дочери государственного канцлера. После нескольких лет домашних неурядиц супруги разъехались. Сразу после смерти первой жены, 27 июля 1769 г., женился на княжне Екатерине Петровне Трубецкой, дочери сенатора, действительного тайного советника П. Н. Трубецкого. В 1779 г.она бросила мужа ради И. Н. Римского-Корсакова и жила отдельно в Москве. В браке со Строгановым имела детей:София, Павел, София (Наталия). Грамотой римского императора Франца I, от 29 мая (9 июня) 1761 г., «состоящий при посольстве в Вене камер-юнкер, Российской империи барон Александр Сергеевич Строганов возведён, с нисходящим его потомством, в графское Римской империи достоинство». На принятие означенного достоинства и пользованием им в России последовало Высочайшее соизволение 16 (27) июля 1761 г. Граф Строганов был крупной фигурой Русского Просвещения: участвовал в работе комиссии по составлению нового уложения, отстаивал создание школ для крестьян. С 1771 по 1779 гг. жил за границей. Занимал высокие должности в масонских ложах в Пруссии и Франции. Участвовал в создании масонской организации, получившей название Великий восток Франции, занимал там ряд административных должностей. Член знаменитой ложи «Les Neuf Sœurs». С 1776 г. почётный член Императорской Академии наук, с 1783 г. действительный член Императорской Российской академии. Активный участник составления Академического словаря. При частых поездках в чужие края занялся составлением своей известной коллекции картин знаменитейших мастеров, эстампов, камней, медалей и монет (последних свыше шестидесяти тысяч). Строганов интересовался химией и проводил эксперименты с веществами, что дало современникам повод заподозрить его в отравлении неугодной жены и даже самого Петра III. Собранная им картинная галерея считалась первой в Петербурге после императорской. Создатель Строгановской дачи в Санкт-Петербурге на Чёрной речке. Инициатор строительства собора с привлечением русского архитектора и председатель (с 1801 г.) попечительского совета по строительству Казанского собора. Владелец одного из самых известных домов в Петербурге - Строгановского дворца на углу Невского проспекта и реки Мойки. С 1784 г. и до своей смерти был петербургским губернским предводителем дворянства; современники его любили за пышные приёмы и гостеприимство. Именно Строганов организовал первую в России партию в «живые шахматы». Она состоялась в загородном дворце графа по случаю приезда в Петербург шведского короля Густава IV в 1796 г. Именным высочайшим указом, от 21 апреля (2 мая) 1798 г., обер-камергер, сенатор, действительный тайный советник Римской империи, граф Александр Сергеевич Строганов возведён, с нисходящим его потомством, в графское Российской империи достоинство. С 1800 г. и до смерти состоял президентом Императорской Академии художеств и директором Императорской Публичной библиотеки). После создания Государственного совета стал его членом. Погребён на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры.
Осенью 1781 г. посетил село Ильинское в качестве владельца имений Строгановых в Пермской губернии. Побывал на пермской земле всего один раз за свою жизнь.